1. 集合的定义：集合是由确定的、互不相同的对象构成的整体。
2. 集合的表示：集合可以用列举法（如 $( A = {1, 2, 3} )$）或描述法（如 $( A = {x | x \text{ 是正整数}} )$）表示。
3. 集合的运算：
   • 并集：$( A \cup B = {x | x \in A \text{ 或 } x \in B} )$

• 交集：$( A \cap B = {x | x \in A \text{ 且 } x \in B} )$

• 补集：$( A' = {x | x \notin A} )$

• 差集：$( A - B = {x | x \in A \text{ 且 } x \notin B} )$

4. 集合的属性：

   • 空集：不包含任何元素的集合，记为 $( \emptyset )$。
   • 无限集：包含无限多个元素的集合。
   • 有序集：集合中元素的顺序是重要的。
   • 无序集：集合中元素的顺序不重要。

逻辑

1. 命题：可以判断真假的陈述句。

2. 逻辑运算：

   • 合取（与）：$( P \land Q )$ 表示命题 ( P ) 和 ( Q ) 都是真的。
   • 析取（或）：$( P \lor Q )$ 表示命题 ( P ) 和 ( Q ) 中至少有一个是真的。
   • 否定：$( \neg P )$ 表示命题 ( P ) 是假的。
   • 蕴含：$( P \rightarrow Q )$ 表示如果 ( P ) 是真的，那么 ( Q ) 也是真的。
   • 等价：$( P \leftrightarrow Q )$ 表示 ( P ) 和 ( Q ) 同时为真或同时为假。

3. 逻辑等价：一系列逻辑等价式，如德摩根定律、分配律等。

4. 证明方法：

   • 直接证明：直接证明结论是真的。
   • 间接证明：通过证明反命题或逆命题来间接证明原命题。
   • 归纳法：通过证明基础情况成立，以及假设 ( n ) 成立能推出 ( n+1 ) 成立，来证明对所有自然数 ( n ) 都成立。

2.函数

函数作图可在GeoGebra或Desmos网页上绘制函数图像

在 LaTeX 中，你可以使用 frac{分子}{分母} 命令来排版分数。

线性函数：形式为 $f(x) = ax + b$，其中 a 是斜率，b 是截距。线性函数的图像是一条直线。

$a(x)=\frac{x}{2}+1$
$b(x)=\frac{x}{2}-1$
$c(x)=2 x+1$

• ** 图像是一条直线**

• ** 斜率**：线性函数的斜率（a）是常数，表示函数图像的倾斜程度。斜率也定义了函数值随自变量变化的速率。

• ** 截距**：线性函数的截距（b）是直线与 y 轴的交点的 y 坐标，它表示当自变量为零时函数的值。

• ** 单调性**：

  • 如果斜率 a > 0，则函数是单调递增的，意味着随着自变量的增加，函数值也会增加。
  • 如果斜率 a < 0，则函数是单调递减的，意味着随着自变量的增加，函数值会减少。

• ** 奇偶性**：线性函数不是奇函数也不是偶函数。奇函数满足 f(-x) = -f(x)，偶函数满足 f(-x) = f(x)，而线性函数 f(x) = ax + b 满足不了这两个条件。

• ** 函数的值域**：线性函数的值域是所有实数，即 R。

• ** 函数的域**：线性函数的定义域通常是所有实数，即 R。

• ** 传递性**：如果 f(x) 和 g(x) 都是线性函数，那么它们的组合 h(x) = f(g(x)) 也是一个线性函数。

二次函数：形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于0。二次函数的图像是一个抛物线。

$a(x)=2 x^2$
$b(x)=2 (x-1)^2+1$
$c(x)=2 (x-1)^2$

• 图像：二次函数的图像是一个抛物线。如果 a > 0，抛物线开口向上；如果 a < 0，抛物线开口向下。

• 对称性：二次函数的图像是轴对称的，对称轴是直线 $x = \frac{-b}{2a}$。这条直线也是抛物线的顶点所在的直线。

• 顶点：抛物线的顶点是对称轴上的点，其坐标为 $(\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a}))$。顶点是抛物线上的最高点或最低点，取决于抛物线的开口方向。

• 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的 x 坐标，即满足 f(x) = 0 的 x 值。零点的个数取决于判别式 $Δ = b^2 - 4ac$ 的值：

  • 如果 Δ > 0，函数有两个不同的实数零点。
  • 如果 Δ = 0，函数有一个重根，即两个相同的实数零点。
  • 如果 Δ < 0，函数没有实数零点，但有两个共轭复数零点。

• 值域：如果 a > 0，函数的最小值是顶点的 y 坐标，值域是 $f(\frac{-b}{2a})$ 到正无穷；如果 a < 0，函数的最大值是顶点的 y 坐标，值域是负无穷到 $f(\frac{-b}{2a})$。

• 单调性：在顶点左侧，如果 a > 0，函数是单调递减的；如果 a < 0，函数是单调递增的。在顶点右侧，情况相反。

• 奇偶性：二次函数不是奇函数也不是偶函数，除非 b = 0 并且 c 也为0，这时函数是偶函数，图像关于 y 轴对称。

• 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，存在一个焦点和一个准线。焦点是抛物线上的一个点，准线是与焦点等距离的直线。焦点的坐标是 $(h, k + \frac{1}{4a})$，其中 (h, k) 是顶点的坐标。

• 顶点式：二次函数可以写成顶点式$f(x) = a(x - h)^2 + k$，其中 (h, k) 是顶点的坐标，这有助于理解和分析函数的性质。

指数函数：形式为$f(x) = a^x$，其中 a 是底数，x 是指数。指数函数的图像通常是一条递增的曲线，底数 a 大于1时递增，0 < a < 1 时递减。

$a(x)=(\frac{1}{2})^x$
$b(x)=2^x$

• 图像：

  • 当 a > 1 时，指数函数的图像是递增的，并且随着 x 的增加，f(x) 的增长速度越来越快。
  • 当 0 < a < 1 时，指数函数的图像是递减的，并且随着 x 的增加，f(x) 的值逐渐接近于0，但永远不会等于0。

• 域：指数函数的定义域是所有实数，即 R。

• 值域：指数函数的值域是所有正实数，即 (0, +∞)。

• 单调性：

  • 当 a > 1 时，函数是严格递增的。
  • 当 0 < a < 1 时，函数是严格递减的。

• 奇偶性：指数函数不是奇函数也不是偶函数。

• 周期性：指数函数不是周期性的。

• 渐近行为：

  • 当 x 趋于正无穷时，f(x) 也趋于正无穷。
  • 当 x 趋于负无穷时，f(x) 趋于0。

• 

• 

• 

• 

对数函数：如果 $a^x = N$（其中 a 是大于0且不等于1的常数，x 是未知数），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 $x = log_a(N)$。这里 a 称为对数的底数，N 称为真数。

• 定义域：对数函数的定义域是所有正实数，即 (0, +∞)。

• 值域：对数函数的值域是所有实数，即 R。

• 图像：

  • 当 a > 1 时，对数函数的图像是递增的，并且随着 x 的增加，f(x) 的增长速度逐渐减慢。
  • 当 0 < a < 1 时，对数函数的图像是递减的，并且随着 x 的增加，f(x) 的值逐渐减小。

• 单调性：

  • 当 a > 1 时，对数函数是严格递增的。
  • 当 0 < a < 1 时，对数函数是严格递减的。

• 奇偶性：对数函数不是奇函数也不是偶函数。

• 渐近行为：

  • 当 x 趋于0时，对数函数趋于负无穷。
  • 当 x 趋于正无穷时，对数函数趋于正无穷。

• 特殊对数函数：

  • 自然对数函数：以自然常数 e（约等于2.71828…）为底的对数函数，记作 ln(x) 或 $log_e(x)$。
  • 常用对数函数：以10为底的对数函数，记作 $log_{10}(x)$ 或 lg(x)。

• 对数运算规则：

  • 乘法规则：$log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)$
  • 除法规则：$log_a(\frac{M}{N}) = log_a(M) - log_a(N)$
  • 幂的规则：$log_a(M^k) = k * log_a(M)$
  • 换底公式：$log_a(b)=\frac{log_c(b)}{log_c(a)}$，其中 c 可以是任意的底数。

三角函数：包括正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x) 和正切函数 tan(x) 等。这些函数与直角三角形的边长比例有关，也出现在周期性现象的建模中。

反三角函数：包括反正弦函数 asin(x) 或 sin^(-1)(x)、反余弦函数 acos(x) 或 cos^(-1)(x) 和反正切函数 atan(x) 或 tan^(-1)(x) 等。这些函数是三角函数的反函数。

3.不等式

1. 一元一次不等式：形如 ( ax + b > 0 ) 或 ( ax + b < 0 ) 的不等式，其中 ( a ) 和 ( b ) 是常数，( x ) 是未知数。

2. 一元二次不等式：形如$( ax^2 + bx + c > 0 )$或$( ax^2 + bx + c < 0 )$的不等式，其中 ( a ) 不等于 0。解这类不等式通常需要找到对应二次方程$( ax^2 + bx + c = 0 )$的根，并分析二次函数的图像。

3. 绝对值不等式：涉及绝对值的不等式，如 ( |x| < a )，( |x| > a )，$( |f(x)| \leq g(x) )$等。解这类不等式通常需要考虑绝对值的定义，并将其分解为两个不同的情况。

4. 线性不等式组：由多个线性不等式构成的集合，如$\begin{cases} ax + b > 0 \\ cx + d < 0 \\ \end{cases}$。解这类不等式组通常涉及到找出所有不等式的公共解集。

5. 一元不等式的应用：在几何、物理、经济学等领域中，一元不等式可以用来描述现实世界中的关系和限制。

6. 基本不等式（重要不等式）：如算术平均-几何平均不等式（AM-GM 不等式），柯西不等式等，这些不等式在证明其他不等式时非常有用。

7. 不等式的证明方法：包括直接证明、反证法、数学归纳法、构造法等。

8. 函数的单调性：通过研究函数的增减性来分析不等式。

9. 最值问题：在给定的条件下，找到函数的最大值或最小值，通常与不等式紧密相关。在解决不等式问题时，常用的策略包括：

• 移项：将不等式中的项移动到不等式的一边或另一边。

• 分解因式：对于二次不等式，通过分解因式来找到关键点。

• 图像法：利用函数的图像来帮助理解不等式的解集。

• 区间判定法：对于一元二次不等式，通过测试区间内的点来确定不等式的解集。

• 数轴标根法：在数轴上标出关键点，并测试每个区间来确定解集。

4.数列与极限

数列

1. 数列的定义：

   • 数列是按照一定顺序排列的一列数，记作$(a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...)$，其中$(a_n)$表示数列的第 (n) 项。

2. 数列的通项公式：

   • 通项公式是表示数列中任意一项与项数之间关系的公式，如等差数列的通项公式$(a_n = a_1 + (n-1)d)$，等比数列的通项公式$(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)})$。

3. 等差数列：

   • 等差数列是相邻两项之差为常数的数列，这个常数称为公差，记作 (d)。
   • 等差数列的前 (n) 项和公式为$(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2})$。

4. 等比数列：

   • 等比数列是相邻两项之比为常数的数列，这个常数称为公比，记作$(q)$。
   • 等比数列的前 (n) 项和公式，当$(q \neq 1)$时，为$(S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q})$。

5. 数列的求和：

   • 除了等差数列和等比数列的求和公式外，还可能涉及到其他数列的求和方法，如分部求和、错位相减等。

6. 数列的性质：

   • 有界性：数列是否有上下界。
   • 单调性：数列是否单调增加或单调减少。
   • 周期性：某些数列可能呈现出周期性的规律。

7. 数列的极限：

   • 极限的概念：数列无限项趋于某个值的过程。
   • 极限的性质和运算法则：极限的和、差、积、商（除数不为零）的极限等于极限的和、差、积、商。

8. 数列的应用：

   • 数列在实际问题中的应用，如等差数列、等比数列在实际问题中的模型建立。

9. 数列与数学归纳法：

   • 数学归纳法是证明数列相关性质的一种方法。

10. 数列与函数的关系：

• 数列可以看作是函数的一种特殊形式，数列的通项公式可以看作是函数的表达式。

极限

1. 极限的定义：

   • 数列的极限：数列$({a_n})$的极限是$(L)$，记作$(\lim_{n \to \infty} a_n = L)$，如果对于任意给定的正数$(\epsilon)$，都存在正整数$(N)$，使得当$(n > N)$时，$(|a_n - L| < \epsilon)$始终成立。
   • 函数的极限：函数($f(x)$)当$(x)$趋近于$(x_0)$时的极限是$(L)$，记作$(\lim_{x \to x_0} f(x) = L)$，如果对于任意给定的正数$(\epsilon)$，都存在正数$(\delta)$，使得当$(0 < |x - x_0| < \delta)$时，$(|f(x) - L| < \epsilon)$始终成立。

2. 极限的性质：

   • 唯一性：如果数列或函数的极限存在，则极限是唯一的。
   • 有界性：如果数列收敛，则数列必定有界。
   • 保号性：如果$(\lim_{n \to \infty} a_n = L > 0)$（或 $(L < 0)$），则存在$(N)$使得对所有 $(n > N)$，有$(a_n > 0)$（或$(a_n < 0)$）。

3. 极限的运算法则：

   • 极限的和、差、积、商（除数不为零）的极限等于极限的和、差、积、商。

4. 极限存在的条件：

   • 夹逼定理（挤压定理）：如果数列$({b_n})$和$({c_n})$都收敛于同一极限$(L)$，并且对于足够大的 (n)，$(b_n \leq a_n \leq c_n)$，则$({a_n})$ 也收敛于$(L)$。
   • 单调有界定理：单调增加且有上界，或单调减少且有下界的数列必定收敛。

5. 无穷小与无穷大的概念：

   • 无穷小：指当自变量趋近于某一点时，函数值的绝对值可以小于任意给定的正数。
   • 无穷大：指当自变量趋近于某一点时，函数值的绝对值可以大于任意给定的正数。

6. 函数极限的判定：

   • 包括直接计算极限、利用极限的性质和运算法则、夹逼定理、单调有界定理等。

7. 极限的应用：

   • 极限在微积分中有着广泛的应用，如连续性、导数、积分的定义等。

（二）几何

1.平面几何

2.立体几何

3.解析几何

（三）三角学

三角函数

在LaTeX公式表示正无穷大： +\infty，负无穷大： -\infty

正弦函数（sin）：$y=sin(x)$

定义域：$(-\infty,+\infty)$值域：[-1,1]奇偶性：奇函数sin(-x) = -sin(x)单调性：y=sin(x)在$[\frac{-\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]$上单调递增，在$[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$上单调递减，$k\in Z$周期性：周期函数，$T=2\pi$有界性：有界函数

余弦函数（cos）：$y=cos(x)$

定义域：$(-\infty,+\infty)$值域：[-1,1]奇偶性：偶函数cos(-x) = cos(x)单调性：y=cos(x)在$[(2k-1)\pi,\pi]$上单调递增，在$[2k\pi,(2k+1)\pi]$上单调递减，$k\in Z$周期性：周期函数，$T=2\pi$有界性：有界函数

正切函数（tan）：$y=tan(x)$

定义域：{$x|x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$}
值域：$(-\infty,+\infty)$奇偶性：奇函数tan(-x) = -tan(x)单调性：y=tan(x)在$[-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi]$上单调递增，$k\in Z$周期性：周期函数，$T=\pi$有界性：无界函数

三角恒等式

和角公式：

• 正弦的和角公式：$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

• 余弦的和角公式：$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

• 正切的和角公式：$tan(\alpha + \beta) = \frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{1 - tan(\alpha)tan(\beta)}$

• 余切的和角公式：$cot(\alpha + \beta) = \frac{cot(\alpha) * cot(\beta)-1}{cot(\beta)+cot(\alpha)}$

差角公式：

• 正弦的差角公式：$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

• 余弦的差角公式：$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

• 正切的差角公式：$tan(\alpha - \beta) = \frac{tan(\alpha) - tan(\beta)}{1 + tan(\alpha)tan(\beta)}$

• 余切的差角公式：$cot(\alpha - \beta) = \frac{cot(\alpha) * cot(\beta)+1}{cot(\beta)-cot(\alpha)}$

倍角公式：

• 正弦的倍角公式：$sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$

• 余弦的倍角公式：$cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$ 或 $cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1$

• 正切的倍角公式：$tan(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1 - tan^2(\alpha)}$

半角公式：

• 正弦的半角公式：$sin(\frac{\alpha}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}$

• 余弦的半角公式：$cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}$

• 正切的半角公式：$tan(\frac{\alpha}{2}) =\frac{sin(\alpha)}{1 + cos(\alpha)}=\frac{1-cos(\alpha)}{sin(\alpha)}=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}}$

积化和差公式：

• $sin(\alpha)cos(\beta) = \frac{1}{2}*[sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)]$

• $cos(\alpha)cos(\beta) = \frac{1}{2}*[cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)]$

• $cos(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{2}*[sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)]$

• $sin(\alpha)sin(\beta) = -\frac{1}{2}*[cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)]$

和差化积公式：

• $sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{2}*[cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)]$

• $cos(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{2}\ast[cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)]$

• $tan(\alpha)+tan(\beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}$

诱导公式

• $sin(-\alpha)=-sin(\alpha)$

• $cos(-\alpha)=cos(\alpha)$

• $sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos(\alpha)$

• $cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin(\alpha)$

• $sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=cos(\alpha)$

• $cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-sin(\alpha)$

• $sin(\pi-\alpha)=sin(\alpha)$

• $cos(\pi-\alpha)=-cos(\alpha)$

• $sin(\pi+\alpha)=-sin(\alpha)$

• $cos(\pi+\alpha)=-cos(\alpha)$

• $tg(\alpha)=tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$

万能公式及其他三角函数

• $sin(\alpha)=\frac{2tan(\frac{\alpha}{2})}{1+tan(\frac{\alpha}{2})^2}$

• $cos(\alpha)=\frac{1-tan(\frac{\alpha}{2})^2}{1+tan(\frac{\alpha}{2})^2}$

• $tan(\alpha)=\frac{2tan\frac{\alpha}{2}}{1-tan\frac{\alpha}{2}^2}$

• $csc(\alpha)=\frac{1}{sin(\alpha)}$

• $sec(\alpha)=\frac{1}{cos(\alpha)}$

解三角形

1. SSS（三边全知）：当三角形的三个边长都已知时，可以使用余弦定理来求解三角形的角度。余弦定理表达式为 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)$，其中 a、b 和 c 是三角形的边长，C 是边 c 对应的角。

2. SAS（两边和夹角）：当两边和它们之间的夹角已知时，可以使用正弦定理或余弦定理来求解第三边的长度和其他两个角的大小。正弦定理表达式为 $\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)} = \frac{c}{sin(C)}$。

3. ASA（两角和夹边）：当两个角和它们之间的边已知时，可以直接根据角度的关系（三角形内角和为180度）来求解第三个角，然后再使用正弦定理或余弦定理来求解其他边长。

• 正弦函数（sin）：用于求解与角度相关的边长问题。

• 余弦函数（cos）：用于求解与角度相关的边长问题，尤其是在使用余弦定理时。

• 正切函数（tan）：有时用于求解直角三角形中的角度问题。解三角形的过程中，可能需要使用到以下定理和公式：

• 正弦定理：$\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)} = \frac{c}{sin(C)}$。

• 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)$。

• 三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。

反三角函数

反正弦函数（arcsin）$y=arcsin(x)$

定义域：[-1,1]值域：$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$奇偶性：奇函数arcsin(-x) = -arcsin(x)单调性：y=arcsin(x)在[-1,1]上单调递增周期性：非周期函数有界性：有界函数

反余弦函数（arccos）$y=arccos(x)$

定义域：[-1,1]值域：$[0,\pi]$奇偶性：非奇非偶函数。单调性：y=arccos(x)在[-1,1]上单调递减周期性：非周期函数有界性：有界函数

反正切函数（arctan）$y=arctan(x)$

定义域：$(-\infty,+\infty)$值域：$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$奇偶性：奇函数arctan(-x) = -arctan(x)单调性：y=arctan(x)在$(-\infty,+\infty)$上单调递增周期性：非周期函数有界性：有界函数

反余切函数（arccot）$y=arccot(x)$

定义域：$(-\infty,+\infty)$值域：$[0,\pi]$奇偶性：非奇非偶函数单调性：y=arccot(x)在$(-\infty,+\infty)$上单调递减周期性：非周期函数有界性：有界函数

（四）概率与统计

不是很重要，属于高数非常重要

概率

1. 随机事件与样本空间：

   • 随机事件：可能发生或不发生的事件。
   • 样本空间：所有可能结果的集合。

2. 概率的定义与性质：

   • 概率的定义：事件发生的可能性大小。
   • 概率的性质：对于任意事件 (A)，有 (0 \leq P(A) \leq 1)，且所有可能事件的概率之和等于 1。

3. 古典概率：

   • 古典概率计算公式：(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)})，其中 (n(A)) 是事件 (A) 的结果数，(n(S)) 是样本空间的结果数。

4. 条件概率与乘法公式：

   • 条件概率：在事件 (B) 发生的条件下，事件 (A) 发生的概率，记作 (P(A|B))。
   • 乘法公式：(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B))。

5. 独立事件：

   • 独立事件：两个事件的发生互不影响。
   • 独立事件的概率乘法公式：(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B))。

6. 全概率公式与贝叶斯定理：

   • 全概率公式：用于计算一个事件发生的总概率，它是多个互斥且穷尽事件的条件概率之和。
   • 贝叶斯定理：用于根据新的信息更新事件的概率。

7. 随机变量：

   • 随机变量：一个将样本空间映射到实数集的函数。
   • 离散随机变量：随机变量的可能值是有限或可数无限多个。
   • 连续随机变量：随机变量的可能值是实数集中的某个区间。

8. 概率分布：

   • 离散随机变量的概率分布：列出随机变量的每个可能值及其对应的概率。
   • 连续随机变量的概率分布：用概率密度函数来描述。

9. 期望与方差：

   • 期望（均值）：随机变量平均取值的大小。
   • 方差：随机变量取值的波动程度。

10. 大数定律与中心极限定理：

• 大数定律：当试验次数足够多时，随机变量的样本平均趋近于其期望。

• 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和（或平均）近似服从正态分布。

统计

1. 数据的类型：

   • 定量数据：可以量化的数据，如长度、重量、时间等。
   • 定性数据：描述性数据，如颜色、性别、品牌等。

2. 数据的收集：

   • 调查：通过问卷、访谈等方式收集数据。
   • 观测：通过观察和记录收集数据。
   • 实验设计：在控制条件下收集数据。

3. 数据的整理和表示：

   • 数据表：将数据组织成表格形式。
   • 图表：使用条形图、饼图、折线图等可视化数据。

4. 数据的描述性统计：

   • 中心趋势：平均数、中位数、众数等。
   • 离散程度：极差、方差、标准差等。

5. 概率分布：

   • 离散数据的概率分布：二项分布、泊松分布等。
   • 连续数据的概率分布：正态分布、均匀分布等。

6. 抽样和抽样分布：

   • 抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
   • 抽样分布：样本均值的分布、t分布、卡方分布等。

7. 假设检验：

   • 假设检验的基本概念：零假设、备择假设、显著性水平等。
   • 单样本检验：检验一个样本的平均值是否与总体平均值有显著差异。
   • 双样本检验：检验两个独立样本的平均值是否有显著差异。

8. 相关性与回归分析：

   • 相关性：衡量两个变量之间的线性关系。
   • 回归分析：建立变量之间的数学模型，用于预测和解释。

9. 统计推断：

   • 点估计：使用样本数据来估计总体参数。
   • 区间估计：给出总体参数的置信区间。

10. 实验设计：

• 控制实验：设计实验以排除或控制外部变量的影响。

• 假设实验：设计实验来测试特定的假设。

（五）微积分

极限与导数

极限（Limit）

极限是微积分的基础，它描述了一个函数当自变量趋近于某一值时的行为。常用的极限包括：

• 数列的极限：描述数列$({a_n})$当$(n)$趋于无穷大时$(a_n)$的趋势。

• 函数的极限：描述函数$(f(x))$当$(x)$趋于$(x_0)$时$(f(x))$的趋势。极限存在的条件包括夹逼定理和单调有界定理。极限的基本性质和运算法则是解决微积分问题的重要工具。

导数（Derivative）

导数是描述函数在某一点处如何变化率（即切线的斜率）的数学工具。函数$(f(x))$在点$(x_0)$处的导数记作$(f'(x_0))$或$(\frac{df}{dx}\Big|_{x=x_0})$，定义为：$[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} ]$
如果这个极限存在，我们说函数在$(x_0)$处可导。

极限与导数的关系

极限与导数之间的关系非常紧密：

• 导数是极限的一种特殊情况：导数实际上是一个函数在某一点的局部变化率，这个变化率是通过计算函数值的变化量与自变量变化量的极限来得到的。

• 导数的存在性：一个函数在某一点的导数存在，意味着这个函数在该点附近可以近似为一条直线，即函数图像在该点有切线。

• 导数与连续性：如果一个函数在某一点可导，那么它在该点一定连续。但反之不一定成立，即连续函数不一定可导。

积分

积分是微积分学中的另一个基本概念，与导数相对，主要用于求解区间内函数的总和（面积、体积等）。积分可以分为两种主要类型：不定积分和定积分。

不定积分（Antiderivative/Indefinite Integral）

不定积分是指找到一个函数$( F(x) )$，使得$( F'(x) = f(x) )$。函数$( F(x) )$称为$( f(x) )$的一个原函数（antiderivative），不定积分通常包含一个常数项$( C )$，表示$( f(x) )$的所有原函数构成的集合。不定积分记作：$[ \int f(x) , dx = F(x) + C ]$
其中$( \int )$符号是积分号，表示对$( f(x) )$进行积分。

定积分（Definite Integral）

定积分是指在一定区间$([a, b])$内对一个函数$( f(x) )$的值进行“求和”。这个“求和”过程可以通过极限的方法来定义，即分割区间$([a, b])$为许多小区间，然后在每个小区间上求近似值，最后取极限。定积分记作：$[ \int_{a}^{b} f(x) , dx ]$
定积分的值表示曲线 ( y = f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上与 ( x ) 轴之间的面积（当$( f(x) \geq 0 )$时）。

积分的计算

积分的计算方法包括：

• 基本积分公式：直接应用已知的积分公式。

• 换元积分法：通过变量替换简化积分。

• 分部积分法：将复杂的积分分解为两个较简单的积分的差。

• 三角换元法：利用三角函数的恒等式进行变量替换。

• 积分表：查找特定的积分公式。

积分的应用

积分在数学、物理、工程、经济学等领域有着广泛的应用，如：

• 计算曲线围成的面积。

• 计算物体的体积。

• 计算物理量（如位移、功、电荷等）的总量。

• 在概率论中计算概率密度函数。